Rでデータサイエンス
直交化インパルス応答では誘導VARモデルの撹乱項に発生させるショック\(\,\textbf{A}^{-1}\pmb{\delta}\,\)にはコレスキー分解\(\,\pmb{\Sigma}_u=\textbf{PP}^{'}\,\)で得た下三角行列\(\,\textbf{P}\,\)の制約を設ける。
ここで\(\,\textbf{P}\,\)の対角要素は誘導撹乱項\(\,\textbf{u}\,\)の共分散行列\(\,\Sigma_u\,\)の対角要素の平方根、標準偏差となる(\(\,\textbf{PP}^{'}\,\)の対角要素は誘導撹乱項の分散であるため)。
以下に例として\(\,\textbf{P}\,\)を\(4\times4\)の係数行列と設定する。
「選択ベクトルの影響」とは「内生変数の並び順の影響」と同義である。
[,1]
[1,] 11
[2,] 7
[3,] 14
[4,] 10 [,1]
[1,] 0
[2,] 13
[3,] 2
[4,] 1 [,1]
[1,] 0
[2,] 0
[3,] 5
[4,] 3 [,1]
[1,] 0
[2,] 0
[3,] 0
[4,] 8例えば\(\,\textbf{y}_4\,\)にショックを発生させるとして誘導VARモデルの内生変数の並びが、
[1]\(\,\{\textbf{y}_1,\,\textbf{y}_2,\,\textbf{y}_3,\,\textbf{y}_4\}\,\)の場合
選択ベクトルが\(\textbf{e}_4=\,(0,0,0,1)^{'}\,\)であるため、ショック発生の瞬間の他の内生変数のインパルス応答値に影響しない。
[2]\(\,\textbf{y}_4,\,\textbf{y}_1,\,\textbf{y}_2,\,\textbf{y}_3\,\)の場合
選択ベクトルが\(\textbf{e}_1=\,(1,0,0,0)^{'}\,\)であるため、\(\,\textbf{Pe}_1\,\)の要素は全て非ゼロとなり、ショック発生の瞬間の他の内生変数のインパルス応答値に影響する。
以下に共通してインパルスは\(\,\textbf{y}_1\,\)、レスポンスは\(\,\textbf{y}_3\,\)として例を示す。
library(vars)
set.seed(20220717)
y <- matrix(data = 0, ncol = 22, nrow = 3)
B1 <- matrix(data = runif(n = 9, min = -0.7, max = 0.7) %>%
round(2), nrow = 3)
B2 <- matrix(data = runif(n = 9, min = -0.7, max = 0.7) %>%
round(2), nrow = 3)
for (t in 3:22) {
y[, t] <- B1 %*% y[, t - 2] + B2 %*% y[, t - 1] + matrix(data = rnorm(n = 3, sd = 0.1), ncol = 1)
}
y <- y[, -c(1, 2)]
y1 <- y[1, ]
y2 <- y[2, ]
y3 <- y[3, ]
p <- 2# Pattern 1
out_var <- VAR(y = cbind(y1, y2, y3), p = p, type = "none")
irf(out_var, impulse = "y1", response = "y3", ortho = T, boot = F)
Impulse response coefficients
$y1
y3
[1,] -0.02105563
[2,] 0.02324502
[3,] 0.10949461
[4,] 0.03946037
[5,] 0.08830397
[6,] -0.05858292
[7,] -0.01536861
[8,] -0.11419092
[9,] -0.04190792
[10,] -0.04910469
[11,] 0.02854856# Pattern 2
out_var <- VAR(y = cbind(y3, y1, y2), p = p, type = "none")
irf(out_var, impulse = "y1", response = "y3", ortho = T, boot = F)
Impulse response coefficients
$y1
y3
[1,] 0.00000000
[2,] 0.02644206
[3,] 0.10646906
[4,] 0.03193340
[5,] 0.06636040
[6,] -0.06375650
[7,] -0.02813760
[8,] -0.10124641
[9,] -0.03579424
[10,] -0.02844972
[11,] 0.03609118# Pattern 3
out_var <- VAR(y = cbind(y2, y3, y1), p = p, type = "none")
irf(out_var, impulse = "y1", response = "y3", ortho = T, boot = F)
Impulse response coefficients
$y1
y3
[1,] 0.00000000
[2,] 0.01509623
[3,] 0.11848423
[4,] 0.02015902
[5,] 0.08826608
[6,] -0.07225698
[7,] -0.01299801
[8,] -0.11255414
[9,] -0.03382719
[10,] -0.03822610
[11,] 0.03210121Pattern1,2,3それぞれの\(\,\textbf{y}_3\,\)のインパルス応答値は異なっている。
なお、他の内生変数からの影響の受け難さの順に内生変数を並べることで並び順の影響を軽減できるが、それには当該分析分野に関する相当な知識が必要となる。