Sys.time()[1] "2024-04-15 08:02:08 JST"Rで確率･統計:ガンマ関数
Rでデータサイエンス
ガンマ関数
\(x>0\)の時、以下のように積分を用いてガンマ関数を定義する。\[\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]
\(t>0\)の時、\(e^{t}\)をテイラー展開すると\[e^t=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}t^n=1+t+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^3}{3!}+\dfrac{t^4}{4!}+\dfrac{t^5}{5!}+\cdots+\dfrac{t^n}{n!}+\cdots\]となり\[e^t\geq\dfrac{t^n}{n!}\]
さらに変形すると\[\left(e^t\right)^{-1}\geq\left(\dfrac{t^n}{n!}\right)^{-1},\,\,e^{-t}\leq\dfrac{t^{-n}}{\left(n!\right)^{-1}},\,\,e^{-t}\leq\left(n!\right)\,t^{-n}\]
\(c>1\)の時、\(n\)を\(x\)より大きい正の整数として\[\displaystyle\int_0^{c}t^{x-1}e^{-t}dt=\displaystyle\int_0^1t^{x-1}e^{-t}dt+\displaystyle\int_1^ct^{x-1}e^{-t}dt\]
右辺第一項と同第二項は\[\displaystyle\int_0^1t^{x-1}e^{-t}dt\leq\displaystyle\int_0^1t^{x-1}dt\]および\[\displaystyle\int_1^ct^{x-1}e^{-t}dt\leq \displaystyle\int_1^c t^{x-1}(n!)t^{-n}dt=\displaystyle\int_1^c(n!)t^{x-n-1}dt\]より\[\displaystyle\int_0^{c}t^{x-1}e^{-t}dt\leq \displaystyle\int_0^1t^{x-1}dt+\displaystyle\int_1^c\left(n!\right)\,t^{x-n-1}dt\]
右辺を展開すると\[\displaystyle\int_0^1t^{x-1}dt+\displaystyle\int_1^c\left(n!\right)\,t^{x-n-1}dt=\dfrac{1}{x}+\frac{n!\left(1-c^{x-n}\right)}{n-x}\]
\(n>x\)としているため\(c\rightarrow\infty\)をとると\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{n!}{n-x}\]となり\(x>0\)の時、\(\Gamma(x)\)は収束する。
\(\left(-e^{-t}\right)^{'}=e^{-t},\,\,\left(t^x\right)^{'}=x\,t^{x-1}\)となるため\(x>0\)の時、定積分の部分積分法より\[\Gamma(x+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt=\left[t^x\left(-e^{-t}\right)\right]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty}x\,t^{x-1}(-e^{-t})dt=(0-0)-(-x)\Gamma(x)=x\Gamma(x)\]
\(n\)が正の整数の時、\[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=n(n-1)(n-2)\cdots\Gamma(1)\]
ここで\[\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_0^{\infty}=0-(-1)=1\]
よって\[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=n(n-1)(n-2)\cdots1=n!\]
参考引用資料
最終更新
R、Quarto、Package
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