Rで時系列分析:構造VARモデルと誘導VARモデル

Rでデータサイエンス

ベクトル過程

  1. 同時点で相互に依存し、
  2. 過去の互いの値にも依存し、
  3. システム外からの外生的なショックの影響を受ける、

\(\,K\,\)個の量的変数の\(\,t\,\)期の値からなるベクトル過程を以下の通りとする。

\[\textbf{y}_t=\left(y_{1t},y_{2t},\cdots,y_{Kt}\right)^{'}\]

構造VARモデル

ベクトル過程の依存関係を以下の通り近似的に線形で表す。

\[\textbf{Ay}_t=\textbf{A}_1\textbf{y}_{t-1}+\textbf{A}_2\textbf{y}_{t-2}+\cdots+\textbf{A}_p\textbf{y}_{t-p}+\textbf{A}_z\textbf{z}_{t}+\pmb{\epsilon}_t\quad t=1,2,\cdots,T\]

ここで、

  1. \(\,\textbf{z}_t=\left(z_{1t},z_{2t},\cdots,z_{qt}\right)^{'}\,\)は外生変数や定数項を含むベクトルであり、ドリフト項、トレンド項、季節ダミー変数やその他のダミー変数が含まれ、確定項と呼ばれる。
  2. \(\,\textbf{A},\,\textbf{A}_i(i=1,2,\cdots,p)\,\)は\(\,K\times K\,\)の係数行列
  3. \(\,\textbf{A}_z\,\)は\(\,K\times q\,\)の係数行列
  4. \(\,\pmb{\epsilon}_t\,\)は\(\,K\,\)個の撹乱項からなるベクトル

よって、\(\,K\,\)本の各方程式それぞれに含まれる係数パラメータの個数は\[n=K\times p+q\]となり、 \(\,K\,\)本の方程式を対象とする係数パラメータの総個数は\[N=K\times n\]となる。

構造撹乱項ベクトル\(\,\pmb{\epsilon}_t\,\)は以下の性質を持つ定常過程とする。

  1. 期待値が0\[\textrm{E}(\pmb{\epsilon}_t)=0\quad t=1,2,\cdots,T\]
  2. 分散は\(\,t\,\)に依らない\[\begin{split} \textrm{Var}(\pmb{\epsilon}_t)&=\textrm{E}\left(\pmb{\epsilon}_t\pmb{\epsilon}^{'}_t\right)\\ &=\pmb\Sigma_\epsilon\\ &=\begin{pmatrix} \sigma_{11}^{\epsilon}&0&\cdots&0\\ 0&\sigma_{22}^{\epsilon}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\sigma^{\epsilon}_{KK} \end{pmatrix}\quad t=1,2,\cdots,T \end{split}\]
  3. 異時点間の撹乱項は無相関\[\textrm{Cov}\left(\pmb{\epsilon}_t,\pmb{\epsilon}_s\right)=\textrm{E}\left(\pmb{\epsilon}_t\pmb{\epsilon}^{'}_s\right)=0\quad t\neq s\]

よって構造撹乱項ベクトル\(\,\pmb{\epsilon}_t\,\)は以下のホワイトノイズとして表せられる。\[\pmb{\epsilon}_t\sim \textrm{WH}\left(\textbf{0},\pmb{\Sigma}_\epsilon\right)\]

誘導VARモデル

構造VARを内生変数である\(\,\textbf{y}_t\,\)について解いた誘導VARは以下の通りとなる。

\[\textbf{y}_t=\textbf{B}_1\textbf{y}_{t-1}+\textbf{B}_2\textbf{y}_{t-2}+\cdots+\textbf{B}_p\textbf{y}_{t-p}+\textbf{B}_z\textbf{z}_{t}+\textbf{u}_t\quad t=1,2,\cdots,T\] 但し、

\[\begin{aligned} &\textbf{B}_i=\textbf{A}^{-1}\textbf{A}_i\quad i=1,2,\cdots,p\\ &\textbf{B}=\textbf{A}^{-1}\textbf{A}_z\\ &\textbf{u}_t=\textbf{A}^{-1}\pmb\epsilon_t \end{aligned}\]

誘導撹乱項ベクトル\(\,\textbf{u}_t\,\)は以下の性質を持つ定常過程とする。

  1. 期待値が0\[\textrm{E}(\textbf{u}_t)=0\quad t=1,2,\cdots,T\]
  2. 分散は\(\,t\,\)に依らない\[\begin{split} \textrm{Var}(\textbf{u}_t)&=\textrm{E}\left(\textbf{u}_t\textbf{u}^{'}_t\right)\\ &=\pmb\Sigma_u\\ &=\begin{pmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}&\cdots&\sigma_{1K}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\cdots&\sigma_{1K}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \sigma_{K1}&\sigma_{K2}&\cdots&\sigma_{KK} \end{pmatrix}\quad t=1,2,\cdots,T \end{split}\]
  3. 異時点間の撹乱項は無相関\[\textrm{Cov}\left(\textbf{u}_t,\textbf{u}_s\right)=\textrm{E}\left(\textbf{u}_t\textbf{u}^{'}_s\right)=0\quad t\neq s\]

よって誘導撹乱項ベクトル\(\,\textbf{u}_t\,\)は以下のホワイトノイズとして表せられる。\[\textbf{u}_t\sim\textrm{WN}\left(\textbf{0},\pmb{\Sigma}_u\right)\]

2つの撹乱項ベクトル

構造撹乱項ベクトル\(\pmb{\epsilon}_t\)と誘導撹乱項ベクトル\(\pmb{u}_t\)の間には以下の関係が成り立つ。

\[\begin{aligned} &\textbf{u}_t=\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\\ &\begin{split} \textbf{u}_t\textbf{u}^{'}_t&=\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\textbf{u}^{'}_t\\ &=\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\left(\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\right)^{'}\\ &=\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\pmb{\epsilon}^{'}_t\left(\textbf{A}^{-1}\right)^{'}\\ \end{split}\\ &\begin{split} \textrm{E}\left(\textbf{u}_t\textbf{u}^{'}_t\right)&=\textrm{E}\left(\textbf{A}^{-1}\pmb{\epsilon}_t\pmb{\epsilon}^{'}_t\left(\textbf{A}^{-1}\right)^{'}\right)\\ &=\textbf{A}^{-1}\textrm{E}\left(\pmb{\epsilon}_t\pmb{\epsilon}^{'}_t\right)\left(\textbf{A}^{-1}\right)^{'} \end{split}\\ &\pmb{\Sigma}_u=\textbf{A}^{-1}\pmb{\Sigma}_\epsilon\left(\textbf{A}^{-1}\right)^{'} \end{aligned}\]

参照引用資料

  1. 村尾博(2019),『Rで学ぶVAR実証分析』,オーム社,pp.87-91

最終更新

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[1] "2024-04-13 09:33:05 JST"

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